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题名/责任者:

θ常数, 黎曼面和模群/Hershel M. Farkas, Irwin Kra

出版发行项:

北京:高等教育出版社,2019

ISBN及定价:

978-7-04-046904-2 精装/CNY199.00

载体形态项:

xxiv, 531页:图;26cm

并列正题名:

Theta constants, riemann surfaces and the modular group

丛编项:

美国数学会经典影印系列

个人责任者:

法卡斯 (Farkas, Hershel M.) 著

个人责任者:

克拉 (Kra, Irwin) 著

学科主题:

黎曼面-英文

学科主题:

模群-英文

中图法分类号:

O174.51

中图法分类号:

O156

一般附注:

影印本

出版发行附注:

本影印版由高等教育出版社有限公司经美国数学会独家授权出版

责任者附注:

责任者Farkas规范汉译姓: 法卡斯; 责任者Kra规范汉译姓: 克拉

书目附注:

有书目和索引

提要文摘附注:

古典的分析和数论间有着令人难以置信的关联。例如, 解析数论中包含许多由解析函数估值得出的渐近表达式的例子, 像素数定理的证明。在组合数论中, 数论量的精确公式是由解析函数间的关系得出的。椭圆函数——特别是θ函数——是这方面的重要函数类, 这在雅可比的《椭圆函数论新基础》一书中已经阐述得很清楚。θ函数与黎曼面和模群Gamma=PSL (2,Z) 相关联也早已久为人知, 这提供了深入了解数论的又一种途径。Farkas和Kra这两位著名的黎曼面理论和θ函数分析方面的大师, 利用与主同余子群Gamma (k) 相关的黎曼面上的函数论发现了有趣的组合等式。例如, 作者利用这种方法得到了拉马努金发现的关于分拆函数的同余式, 主要是以一种以上的方法构造同一函数。作者也得到雅可比关于方法数的著名结果 (这个整数可被表示为四平方之和) 的一种变体, 即在过程中将平方改为三角数可以得到一个更为整洁的结果。近来的趋势是用代数几何的思想和方法来研究θ函数和数论, 这使得该领域取得了长足进步。但是, 作者选择停留在古典观点上。因此, 他们的陈述和证明都非常具体。熟悉θ函数和数论的代数几何方法的数学家们, 会在书中发现许多有趣想法, 以及关于新老结果的详尽解释和推导。该书最精彩的部分包括对θ常数恒等式的系统研讨, 由模群子群表示的曲面单值化, 分拆等式, 以及自守函数的傅立叶系数等。本书的预备知识要求对复分析有扎实的理解, 熟悉黎曼面、Fuchs群以及椭圆函数, 还要对数论感兴趣。本书包含对一些所需材料 (尤其是关于θ函数和θ常数) 的概述。读者会在本书中发现对分析和数论的古典观点的细心论述。

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